Guía de trigonometría
Ejercicio 1
Determinar \(x\) y \(y\)
Primero, calculamos la hipotenusa derecha:
\[\sin 30^\circ=\frac{100}{y}\]
\[y=\frac{100}{\sin30^\circ}=200\]
El ángulo superior del triángulo es \(90^\circ\). Por la ley de senos:
\[\frac{x}{\sin90^\circ}=\frac{200}{\sin60^\circ}\]
\(\boxed{x=230.94\quad y=200.00}\)
Guía de trigonometría
Ejercicio 2
Determinar \(x\) y \(y\)
En el triángulo pequeño:
\[\tan60^\circ=\frac{85}{y}\]
\[y=\frac{85}{\tan60^\circ}=49.07\]
La base del triángulo mayor es \(x+y\):
\[x+y=\frac{85}{\tan30^\circ}=147.22\]
\[x=147.22-49.07\]
\(\boxed{x=98.15\quad y=49.07}\)
Guía de trigonometría
Ejercicio 3
Determinar \(x\) y \(y\)
Utilizamos el triángulo de la izquierda:
\[\sin60^\circ=\frac{50}{y}\]
\[y=\frac{50}{\sin60^\circ}=57.74\]
En el triángulo derecho, el ángulo recto está entre \(y\) y el lado inferior:
\[\sin65^\circ=\frac{y}{x}\]
\[x=\frac{57.7350}{\sin65^\circ}\]
\(\boxed{x=63.70\quad y=57.74}\)
Guía de trigonometría
Ejercicio 4
Determinar \(x\), \(y\) y \(w\)
La altura perpendicular a la hipotenusa mide 5:
\[\sin30^\circ=\frac{5}{y}\]
\[y=\frac{5}{\sin30^\circ}=10\]
El ángulo inferior derecho es \(60^\circ\):
\[x=\frac{10}{\tan60^\circ}=5.77\]
\[w=\frac{10}{\sin60^\circ}=11.55\]
\(\boxed{x=5.77,\ y=10.00,\ w=11.55}\)
Guía de trigonometría
Ejercicio 5
Determinar \(h\), \(y\) y \(z\)
Las dos expresiones de la altura son:
\[h=y\tan60^\circ\]
\[h=(y+100)\tan30^\circ\]
Igualamos y despejamos:
\[y\tan60^\circ=(y+100)\tan30^\circ\]
\[y=50,\qquad h=50\sqrt{3}=86.60\]
Finalmente:
\[z=\frac{h}{\sin30^\circ}=173.21\]
\(\boxed{h=86.60,\ y=50.00,\ z=173.21}\)
Guía de trigonometría
Ejercicio 6
Determinar \(x\), \(y\) y \(w\)
El triángulo superior es rectángulo:
\[\tan\theta=\frac{17.32}{10}\implies\theta\approx60^\circ\]
\[w=\sqrt{10^2+17.32^2}\approx20.00\]
Tomando \(60^\circ\) como ángulo aproximado del triángulo inferior:
\[x=17.32\sin60^\circ\approx15.00\]
\[y=17.32\cos60^\circ\approx8.66\]
\(\boxed{x\approx15.00,\ y\approx8.66,\ w\approx20.00}\)
Guía de trigonometría
Ejercicio 7
Altura de un edificio
Sea \(d\) la distancia entre B y el edificio.
\[\tan30^\circ=\frac{h}{d}\]
\[\tan24^\circ=\frac{h}{600+d}\]
Restando las distancias horizontales:
\[\frac{h}{\tan24^\circ}-\frac{h}{\tan30^\circ}=600\]
\[h=\frac{600}{\cot24^\circ-\cot30^\circ}\]
\(\boxed{h=1167.35\text{ pies}}\)
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Ejercicio 8
Determinar la altura \(h\)
Sea \(a\) el segmento izquierdo de la base y \(b\) el derecho:
\[a+b=600\]
\[a=\frac{h}{\tan45^\circ},\quad b=\frac{h}{\tan75^\circ}\]
Sustituimos en la base:
\[\frac{h}{\tan45^\circ}+\frac{h}{\tan75^\circ}=600\]
\[h=\frac{600}{\cot45^\circ+\cot75^\circ}\]
\(\boxed{h=473.21\text{ m}}\)
Guía de ejercicios · Matemáticas III